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一元二次函数

一般地，把形如y=ax²+bx+c（a≠0）（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。

二次函数最高次必须为二次， 二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

二次函数的表达式

（一）顶点式

y=a(x-h)²+k（a≠0，a、h、k为常数），顶点坐标为（h,k)，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k。

（二）交点式

y=a(x-x₁)(x-x₂) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac＞0]

函数与图像交于（x₁，0)和(x₂，0)

（三）一般式

y=aX²+bX+c=0（a≠0）（a、b、c是常数）

二次函数的性质

（1）二次函数的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

（2）二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小；|a|越小，则抛物线的开口越大。

（3）一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧。

（4）常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c）

二次函数与一元二次方程的关系

（1）一元二次方程0=ax²+bx+c就是二次函数y=ax²+bx+c当函数y=0的情况。

（2）二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。

当二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax²+bx+c=0的根。