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面面垂直的定义

  • 2024-09-30 05:30:30
导读 两个相交成直二面角的两个平面互相垂直;相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。面面垂直的定理:一个平面过另一平面的垂线,则这两...

两个相交成直二面角的两个平面互相垂直;相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。面面垂直的定理:一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直;如果一个平面的垂线平行于另一个平面,那么这两个平面互相垂直。

面面垂直的定理证明

1、如果两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

已知:α⊥β,α∩β=l,O∈l,OP⊥l,OP⊂α。

求证:OP⊥β。

证明:过O在β内作OQ⊥l,则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。

∵α⊥β

∴∠POQ=90°,即OP⊥OQ

∵OP⊥l,l∩OQ=O,l⊂β,OQ⊂β

∴OP⊥β

2、如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面。

已知:α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l。求证:l⊥γ

证明:设α∩γ=a,β∩γ=b

∵a∩b=l

∴a与b相交

设a∩b=P,则P∈l

若l与γ不垂直,那么在α内过P作PA⊥a,由定理1可知PA⊥γ

同理,在β内作PB⊥b,就有PB⊥γ

于是过P有两条直线与γ垂直,与线面垂直的性质定理矛盾。

∴假设不成立,l⊥γ

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